2026·2025학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 해설집 (통합 30문항)

문제 1

곡선 $y = 3^x$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 후, $x$축 방향으로 $m$만큼 평행이동한 도형이 점 $(3, 9)$를 지난다. 상수 $m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 지수함수의 그래프에 대한 대칭이동과 평행이동의 식을 구하고, 지나는 점의 좌표를 대입하여 미지수를 계산할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅰ p.29 유제 1 연계 ([12수학Ⅰ01-06], [12수학Ⅰ01-07])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 공식 선언 및 이동된 함수식 수립 (3점)

곡선 $y = 3^x$을 $y$축에 대하여 대칭이동하면 $x$ 대신 $-x$를 대입하므로 $y = 3^{-x}$이다. 이를 다시 $x$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $x - m$을 대입하므로 이동된 곡선의 방정식은 $$y = 3^{-(x-m)} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-m}$$이다.

2단계: 점 $(3, 9)$ 대입 및 지수방정식 정리 (3점)

이 도형이 점 $(3, 9)$를 지나므로 $x = 3$, $y = 9$를 대입하면 $$9 = 3^{-(3-m)} \implies 3^2 = 3^{-3+m}$$이다.

3단계: 최종 결론 도출 (4점)

밑이 $3$으로 같으므로 지수를 비교하면 $$2 = -3 + m \implies m = 5$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
이동된 도형의 방정식 도출	$y = 3^{-(x-m)}$ 또는 $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-m}$을 정확히 구한 경우	3점
점 $(3, 9)$ 대입 관계식	$9 = 3^{-3+m}$ 또는 $3^2 = 3^{-3+m}$을 도출한 경우	3점
상수 $m$의 값 산출	$m = 5$를 정확히 구한 경우	4점

문제 2

아인슈타인의 상대성이론에서 정지 상태의 질량이 $m_0(\text{mg})$인 입자가 $v(\text{m/s})$의 속도로 움직일 때의 질량 $m(\text{mg})$은 다음과 같다. $$m = m_0 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}$$ 정지 상태의 질량이 $8\text{mg}$인 입자가 움직일 때의 질량이 $10\text{mg}$이다. 이때, 입자의 속도를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $v > 0$, 상수 $c$는 $3 \times 10^8\text{m/s}$로 계산한다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 주어진 실생활(물리학) 관계식에 수치들을 대입하고 음의 유리수 지수법칙을 적용하여 미지수의 값을 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅰ p.13 유제 5 연계 ([12수학Ⅰ01-03], [12수학Ⅰ01-08])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 주어진 조건 대입 및 관계식 수립 (3점)

정지 질량 $m_0 = 8$, 움직일 때의 질량 $m = 10$을 주어진 식에 대입하면 $$10 = 8\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \implies \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{4}$$이다.

2단계: 지수법칙을 이용한 $v^2$ 정리 (3점)

양변에 $-2$제곱을 취하면 $$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-2} = \frac{16}{25} \implies \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} = (0.6)^2$$이므로 $v^2 = c^2 \times (0.6)^2$이다.

3단계: 입자의 속도 $v$ 계산 (4점)

$v > 0$, $c = 3 \times 10^8\text{m/s}$이므로 $$v = 0.6 c = 0.6 \times (3 \times 10^8) = 1.8 \times 10^8(\text{m/s})$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
조건 대입 식 수립	$10 = 8\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}$을 정확히 세운 경우	3점
유리수 지수 정리	$v^2 = c^2 \times 0.6^2$ 또는 $\dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{9}{25}$를 도출한 경우	3점
최종 속도 계산	$v = 1.8 \times 10^8\text{m/s}$를 정확히 구한 경우	4점

문제 3

첫째항이 $4$인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 어떤 자연수 $k$에 대하여 $S_k = 20$, $S_{2k} = 30$일 때, 이 등비수열의 제$(k+1)$항 $a_{k+1}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 등비수열의 합 공식을 이해하고 $S_k$와 $S_{2k}$의 인수분해 관계를 활용하여 $r^k$ 및 $a_{k+1}$의 값을 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅰ p.83 유제 8 연계 ([12수학Ⅰ03-03])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 등비수열의 합 $S_k$ 식 표현 (2점)

등비수열 $\{a_n\}$의 공비를 $r$이라 하자. 만약 $r = 1$이면 $S_k = 4k = 20$에서 $k = 5$이나 $S_{2k} = 40 \neq 30$이므로 모순이다. 따라서 $r \neq 1$이고, $$S_k = \frac{4(r^k - 1)}{r - 1} = 20$$이다.

2단계: $S_{2k}$의 인수분해 및 $r^k$ 도출 (5점)

첫째항부터 제$2k$항까지의 합 $S_{2k}$는 $$S_{2k} = \frac{4(r^{2k} - 1)}{r - 1} = \frac{4(r^k - 1)(r^k + 1)}{r - 1} = S_k (r^k + 1)$$이므로 $20(r^k + 1) = 30$에서 $r^k + 1 = \dfrac{3}{2}$, 즉 $$r^k = \frac{1}{2}$$이다.

3단계: 제$(k+1)$항 $a_{k+1}$ 계산 (3점)

등비수열의 일반항 성질에 의하여 $$a_{k+1} = a_1 r^k = 4 \times \frac{1}{2} = 2$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$S_k$ 합 공식 표현	$S_k = \dfrac{4(r^k - 1)}{r - 1} = 20$을 제시한 경우	2점
$S_{2k}$ 관계식 표현	$S_{2k} = 20 \times (r^k + 1) = 30$을 제시한 경우	2점
$r^k$ 값 산출	$r^k = \dfrac{1}{2}$을 구한 경우	3점
$a_{k+1}$ 값 산출	$a_{k+1} = 2$를 정확히 구한 경우	3점

문제 4

다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 3a}{x - 1} & (x \neq 1) \\[6pt] b & (x = 1) \end{cases}$$

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 함수가 한 점에서 연속일 조건($\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$)과 $0/0$꼴 극한의 성질을 이용하여 미정계수를 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅱ p.21 유제 1 연계 ([12수학Ⅱ01-02], [12수학Ⅱ01-03])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 연속 조건 및 분자의 극한 조건 수립 (5점)

함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x = 1$에서 연속이어야 하므로 $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3a}{x - 1} = f(1) = b$$가 성립해야 한다. $x \to 1$일 때 분모 $(x - 1) \to 0$이고 극한값이 존재하므로 분자의 극한도 $0$이어야 한다. $$\lim_{x \to 1} (x^3 - 3a) = 1 - 3a = 0 \implies a = \frac{1}{3}$$

2단계: 인수분해 및 극한값 $b$ 계산 (5점)

$a = \dfrac{1}{3}$을 대입하고 분자 $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$을 인수분해하여 약분하면 $$b = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
분자의 극한 조건 제시	$\lim_{x \to 1}(x^3 - 3a) = 0$을 제시한 경우	2점
상수 $a$의 값 산출	$a = \dfrac{1}{3}$을 구한 경우	3점
약분 후 극한식 제시	$\lim_{x \to 1}(x^2 + x + 1)$을 도출한 경우	2점
상수 $b$의 값 산출	$b = 3$을 정확히 구한 경우	3점

문제 5

이차함수 $f(x)$와 일차함수 $g(x) = ax$ ($a < 0$)가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) 함수 $f(x)$의 그래프는 원점을 지난다.

(나) 함수 $f(x)$는 $x = \dfrac{5}{2}$에서 극댓값 $\dfrac{25}{4}$를 갖는다.

(다) 두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는 $36$이다.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 주어진 극대 조건과 원점 통과 조건으로 이차함수 $f(x)$의 식을 결정하고, 정적분을 활용한 두 그래프 사이의 넓이 공식으로 일차함수 $g(x)$를 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅱ p.93 유제 5 연계 ([12수학Ⅱ03-05])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 조건 (가), (나)를 이용한 이차함수 $f(x)$ 결정 (4점)

조건 (나)에서 이차함수 $f(x)$가 $x = \dfrac{5}{2}$에서 극댓값 $\dfrac{25}{4}$를 가지므로 꼭짓점의 좌표가 $\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{25}{4}\right)$이다. 최고차항의 계수를 $k$ ($k < 0$)라 하면 $$f(x) = k\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{4}$$이다. 조건 (가)에 의해 원점 $(0, 0)$을 지나므로 $f(0) = \dfrac{25}{4}k + \dfrac{25}{4} = 0 \implies k = -1$이다. 따라서 $$f(x) = -\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{4} = -x^2 + 5x = -x(x - 5)$$이다.

2단계: 조건 (다)의 넓이를 이용한 일차함수 $g(x)$ 결정 (4점)

두 함수 $y = f(x)$와 $y = g(x) = ax$의 교점의 $x$좌표는 $-x^2 + 5x = ax \implies x^2 + (a - 5)x = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 5 - a$이다. $a < 0$이므로 $5 - a > 5 > 0$이다. 둘러싸인 도형의 넓이가 $36$이므로 $$\int_{0}^{5-a} (-x^2 + (5 - a)x)\,dx = \frac{1 \cdot (5 - a)^3}{6} = 36$$에서 $(5 - a)^3 = 216 = 6^3 \implies 5 - a = 6$이므로 $a = -1$이다. 따라서 $g(x) = -x$이다.

3단계: $g(2)$의 값 계산 (2점)

$g(x) = -x$에 $x = 2$를 대입하면 $g(2) = -2$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
이차함수 $f(x)$ 결정	$f(x) = -x(x - 5)$ 또는 $f(x) = -x^2 + 5x$를 구한 경우	4점
일차함수 $g(x)$ 결정	정적분 넓이 식을 통해 $a = -1$, 즉 $g(x) = -x$를 구한 경우	4점
$g(2)$의 값 산출	$g(2) = -2$를 정확히 구한 경우	2점

문제 6

두 함수 $f(x) = \dfrac{8}{3}x^3 + 2x^2$와 $g(x) = x^4 - 4x^2 + a$가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$가 항상 성립하도록 하는 실수 $a$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건을 사차함수의 최솟값 문제로 변환하고, 도함수를 이용해 극솟값과 최솟값을 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅱ p.67 유제 9 연계 ([12수학Ⅱ02-08], [12수학Ⅱ02-09])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 차이 함수 $h(x)$ 설정 및 도함수 $h'(x) = 0$의 해 도출 (5점)

$h(x) = g(x) - f(x) = x^4 - \dfrac{8}{3}x^3 - 6x^2 + a$라 하면, 모든 실수 $x$에 대하여 $h(x) \ge 0$이어야 한다. 양변을 미분하면 $$h'(x) = 4x^3 - 8x^2 - 12x = 4x(x^2 - 2x - 3) = 4x(x + 1)(x - 3)$$이므로 $h'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 0$ 또는 $x = 3$이다.

2단계: 함수 $h(x)$의 최솟값 판별 및 $a$의 최솟값 계산 (5점)

증감표를 조사하면 함수 $h(x)$는 $x = -1$과 $x = 3$에서 극소이고 $x = 0$에서 극대이다. 극솟값을 비교하면 $$h(-1) = 1 + \frac{8}{3} - 6 + a = a - \frac{7}{3}, \qquad h(3) = 81 - 72 - 54 + a = a - 45$$이므로 실수 전체에서 $h(x)$의 최솟값은 $h(3) = a - 45$이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $h(x) \ge 0$이려면 $$h(3) = a - 45 \ge 0 \implies a \ge 45$$이어야 하므로, 실수 $a$의 최솟값은 $45$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
도함수 $h'(x)$ 인수분해 및 극값 후보	$h(x) = g(x) - f(x)$로 두고 $h'(x) = 4x(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x = -1, 0, 3$을 구한 경우	5점
최솟값 비교 및 $a$의 최솟값 산출	$h(3) = a - 45 \ge 0$으로부터 실수 $a$의 최솟값 $45$를 구한 경우	5점

문제 7

함수 $f(x) = 3^{x-1} + 2$에 대하여, 정의역이 $[-1, 3]$일 때, 이 함수의 최댓값은 $M$, 최솟값은 $m$이다. $M, m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 밑이 $1$보다 큰 지수함수의 증가 성질을 이해하고, 닫힌구간에서의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅰ p.31 유제 3 연계 ([12수학Ⅰ01-06], [12수학Ⅰ01-07])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 지수함수의 단조증가 성질 확인 및 최댓값 $M$ 계산 (5점)

함수 $f(x) = 3^{x-1} + 2$는 밑이 $3 > 1$이므로 실수 전체에서 $x$의 값이 증가할 때 $f(x)$의 값도 증가하는 증가함수이다. 따라서 정의역 $[-1, 3]$에서 $x = 3$일 때 최댓값 $M$을 갖는다. $$M = f(3) = 3^{3-1} + 2 = 3^2 + 2 = 11$$

2단계: 최솟값 $m$ 계산 (5점)

정의역 $[-1, 3]$에서 $x = -1$일 때 최솟값 $m$을 갖는다. $$m = f(-1) = 3^{-1-1} + 2 = 3^{-2} + 2 = \frac{1}{9} + 2 = \frac{19}{9}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
최댓값 $M$ 산출	$x = 3$에서 최댓값 $M = f(3) = 11$을 구한 경우	5점
최솟값 $m$ 산출	$x = -1$에서 최솟값 $m = f(-1) = \dfrac{19}{9}$를 구한 경우	5점

문제 8

엑스선을 이용하면 물질의 두께를 측정할 수 있다. 처음 엑스선의 강도를 $I_0$, 감약계수가 $\mu$인 어느 물질을 투과한 후 엑스선의 강도를 $I$라고 할 때, 그 물질의 두께 $d(\text{mm})$에 대하여 다음 식이 성립한다. $$\log I = \log I_0 - \frac{\mu}{0.7}d$$ 감약계수가 $0.245$인 어떤 물질을 투과한 엑스선의 강도가 처음 강도의 $\dfrac{1}{5}$이 되었다. 이 물질의 두께를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\log 2 = 0.3$으로 계산한다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 상용로그 관계식에 주어진 조건을 대입하고 $\log 5 = 1 - \log 2$의 성질을 활용하여 미지수를 계산할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: 미래엔 고등학교 수학Ⅰ p.56 연계 ([12수학Ⅰ01-04], [12수학Ⅰ01-08])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 주어진 조건 대입 및 로그 방정식 수립 (3점)

감약계수 $\mu = 0.245$, 투과 후 강도 $I = \dfrac{1}{5}I_0$을 주어진 식에 대입하면 $$\log\left(\frac{1}{5}I_0\right) = \log I_0 - \frac{0.245}{0.7}d$$이다.

2단계: 상용로그 성질을 이용한 식 정리 (3점)

좌변을 로그의 성질로 분리하면 $\log I_0 - \log 5 = \log I_0 - 0.35d$이므로 $$0.35d = \log 5 = \log\left(\frac{10}{2}\right) = 1 - \log 2 = 1 - 0.3 = 0.7$$이다.

3단계: 물질의 두께 $d$ 계산 (4점)

$0.35d = 0.7$의 양변을 $0.35$로 나누면 $$d = \frac{0.7}{0.35} = 2(\text{mm})$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
조건 대입 관계식 수립	$\log\left(\dfrac{1}{5}I_0\right) = \log I_0 - \dfrac{0.245}{0.7}d$를 세운 경우	3점
상용로그 계산 정리	$0.35d = 0.7$을 도출한 경우	3점
최종 두께 산출	물질의 두께 $2\text{mm}$를 구한 경우	4점

문제 9

$\overline{\text{AB}} = 8$인 삼각형 $\text{ABC}$가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $3\sin C = 2\sin A$

(나) $5(\sin A - \sin C) = 2\sin B$

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 삼각형에서 사인법칙을 적용하여 세 변의 길이를 구하고, 코사인법칙으로 한 내각의 삼각비를 구해 삼각형의 넓이를 계산할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅰ p.59 예제 4 연계 ([12수학Ⅰ02-03])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 사인법칙을 이용한 변의 길이 $a, b$ 도출 (4점)

삼각형 $\text{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하고, 세 내각 $A, B, C$의 대변의 길이를 각각 $a, b, c$라 하면 $c = \overline{\text{AB}} = 8$이다. 사인법칙 $\sin A = \dfrac{a}{2R}, \sin B = \dfrac{b}{2R}, \sin C = \dfrac{c}{2R}$를 조건 (가)에 대입하면 $$3c = 2a \implies 3 \times 8 = 2a \implies a = 12$$이다. 이를 조건 (나)에 대입하면 $$5(a - c) = 2b \implies 5(12 - 8) = 2b \implies b = 10$$이다.

2단계: 코사인법칙을 이용한 $\cos A$ 및 $\sin A$ 계산 (2점)

코사인법칙에 의하여 $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{10^2 + 8^2 - 12^2}{2 \times 10 \times 8} = \frac{100 + 64 - 144}{160} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8}$$이다. $0 < A < \pi$이므로 $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{64}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{8}$이다.

3단계: 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 계산 (4점)

따라서 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 $S$는 $$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 \times \frac{3\sqrt{7}}{8} = 15\sqrt{7}$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
사인법칙으로 $a, b$ 산출	$a = 12$ (2점), $b = 10$ (2점)을 구한 경우	4점
코사인법칙으로 삼각비 산출	$\cos A = \dfrac{1}{8}$ 또는 $\sin A = \dfrac{3\sqrt{7}}{8}$ (또는 각 $B, C$의 삼각비)을 구한 경우	2점
삼각형의 넓이 산출	넓이 $15\sqrt{7}$을 정확히 구한 경우	4점

문제 10

다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + (a - 1)x - 3}{x - 2} & (x \neq 2) \\[6pt] b & (x = 2) \end{cases}$$

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 함수가 $x = 2$에서 연속일 조건과 부정형 극한의 성질을 이용하여 미정계수 $a, b$를 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅱ p.21 유제 1 연계 ([12수학Ⅱ01-02], [12수학Ⅱ01-03])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: $x = 2$에서의 연속 조건 및 상수 $a$ 도출 (5점)

함수 $f(x)$가 실수 전체에서 연속이려면 $x = 2$에서 연속이어야 하므로 $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = b$이다. $x \to 2$일 때 분모 $(x - 2) \to 0$이므로 분자의 극한도 $0$이어야 한다. $$2^2 + (a - 1) \times 2 - 3 = 0 \implies 2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$$

2단계: 분자의 인수분해 및 극한값 $b$ 계산 (5점)

$a = \dfrac{1}{2}$을 대입하면 분자는 $x^2 - \dfrac{1}{2}x - 3 = (x - 2)\left(x + \dfrac{3}{2}\right)$으로 인수분해된다. 따라서 $$b = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)\left(x + \dfrac{3}{2}\right)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\left(x + \frac{3}{2}\right) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
분자 극한 조건식 제시	$2^2 + (a - 1) \times 2 - 3 = 0$을 제시한 경우	2점
상수 $a$의 값 산출	$a = \dfrac{1}{2}$을 구한 경우	3점
분자 인수분해 및 약분	분자를 $(x - 2)\left(x + \dfrac{3}{2}\right)$으로 인수분해한 경우	2점
상수 $b$의 값 산출	$b = \dfrac{7}{2}$를 정확히 구한 경우	3점

문제 11

두 함수 $f(x) = 3x^4 + 2x^3 - x$, $g(x) = -x^3 + 4x^2 + 2x + 1$에 대하여 방정식 $f(x) = g(x)$는 열린구간 $(-2, -1)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 증명하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 다항함수의 연속성과 사잇값의 정리를 논리적으로 서술하여 열린구간 내 실근의 존재성을 증명할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: 신사고 고등학교 수학Ⅱ p.39 연계 ([12수학Ⅱ01-04])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 보조함수 $h(x)$ 정의 및 닫힌구간 연속성 명시 (2점)

$h(x) = f(x) - g(x) = 3x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x - 1$이라 하자. 다항함수 $h(x)$는 실수 전체에서 연속이므로 닫힌구간 $[-2, -1]$에서 연속이다.

2단계: 양 끝점에서의 함숫값 부호 판정 (3점)

구간 양 끝점 $x = -2$와 $x = -1$에서의 함숫값을 구하면 $$h(-2) = 3(-2)^4 + 3(-2)^3 - 4(-2)^2 - 3(-2) - 1 = 48 - 24 - 16 + 6 - 1 = 13 > 0$$ $$h(-1) = 3(-1)^4 + 3(-1)^3 - 4(-1)^2 - 3(-1) - 1 = 3 - 3 - 4 + 3 - 1 = -2 < 0$$이므로 $h(-2)h(-1) < 0$이다.

3단계: 사잇값의 정리 적용 및 결론 도출 (5점)

$h(-2) > 0$, $h(-1) < 0$으로 $h(-2) \neq h(-1)$이고 $0$은 $h(-1)$과 $h(-2)$ 사이의 값이므로, 사잇값의 정리에 의하여 $h(c) = 0$인 실수 $c$가 열린구간 $(-2, -1)$에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 $f(x) = g(x)$는 열린구간 $(-2, -1)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$h(x)$ 설정 및 연속 조건	$h(x) = 3x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x - 1$이 닫힌구간 $[-2, -1]$에서 연속임을 명시	2점
양 끝점 함숫값 계산	$h(-2) = 13 > 0$, $h(-1) = -2 < 0$을 구한 경우	3점
사잇값의 정리 적용	사잇값 정리에 의해 $h(c) = 0$인 $c$가 열린구간 $(-2, -1)$에 적어도 하나 존재함을 서술	3점
최종 증명 결론	방정식 $f(x) = g(x)$가 열린구간 $(-2, -1)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 서술	2점

문제 12

집합 $A_n$이 다음과 같다. $$A_n = \{3^k \mid 1 \le k \le n + 2, \; k\text{는 자연수}\}$$ 집합 $A_n$의 서로 다른 두 원소를 곱했을 때 나올 수 있는 값의 집합을 $S_n$, 집합 $S_n$의 원소의 개수를 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{8} a_n$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 지수법칙을 통해 집합 $S_n$의 원소들이 갖는 지수의 범위를 파악하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\sum$의 성질로 수열의 합을 계산할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅰ p.96 예제 1 연계 ([12수학Ⅰ03-04], [12수학Ⅰ03-05])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 집합 $S_n$의 원소 및 지수 범위 규명 (4점)

집합 $A_n = \{3^1, 3^2, 3^3, \dots, 3^{n+2}\}$의 서로 다른 두 원소 $3^i, 3^j$ ($1 \le i < j \le n+2$)를 곱하면 $3^{i+j}$이다. 두 지수의 합 $m = i + j$의 최솟값은 $1 + 2 = 3$이고, 최댓값은 $(n + 1) + (n + 2) = 2n + 3$이다. 따라서 $$S_n = \{3^3, 3^4, 3^5, \dots, 3^{2n+3}\}$$이다.

2단계: 원소의 개수 $a_n$ 도출 (3점)

집합 $S_n$의 원소의 개수 $a_n$은 $3$부터 $2n + 3$까지의 자연수의 개수이므로 $$a_n = (2n + 3) - 3 + 1 = 2n + 1$$이다.

3단계: $\sum_{n=1}^{8} a_n$의 값 계산 (3점)

수열의 합 공식에 의하여 $$\sum_{n=1}^{8} a_n = \sum_{n=1}^{8} (2n + 1) = 2 \times \frac{8 \times 9}{2} + 8 = 72 + 8 = 80$$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
집합 $S_n$의 원소 범위 규명	$S_n = \{3^3, 3^4, \dots, 3^{2n+3}\}$ 또는 지수 범위 $3 \le m \le 2n + 3$ 도출	4점
일반항 $a_n$ 산출	$a_n = 2n + 1$을 구한 경우	3점
수열의 합 산출	$\displaystyle\sum_{n=1}^{8}(2n + 1) = 80$을 정확히 구한 경우	3점

문제 13

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 $g(x) = (2x + 3)f(x)$일 때, 두 함수 $f(x), g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. $f(6) - g'(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{5f(x) - g(1)}{x - 1} = g(1) + 35$

(나) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{g(x) - 5f(1)}{x - 1} = f(1) + 11$

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 곱의 함수 $g(x) = (2x + 3)f(x)$에서 $g(1) = 5f(1)$임을 파악하여 극한식을 미분계수로 해석하고, 곱의 미분법으로 이차함수 $f(x)$를 결정할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅱ p.41 예제 3 연계 ([12수학Ⅱ02-01], [12수학Ⅱ02-04], [12수학Ⅱ02-05])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: $g(1) = 5f(1)$ 관계 및 미분계수 조건 정리 (4점)

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수를 $f(x) = x^2 + ax + b$ ($a, b$는 상수)라 하면 $f'(x) = 2x + a$이다. 또한 $g(x) = (2x + 3)f(x)$에서 $g(1) = 5f(1)$이고, 곱의 미분법에 의해 $g'(x) = 2f(x) + (2x + 3)f'(x)$이다.
• 조건 (가)에서 $g(1) = 5f(1)$을 대입하면 $$\lim_{x \to 1}\frac{5(f(x) - f(1))}{x - 1} = 5f'(1) = 5f(1) + 35 \implies f'(1) = f(1) + 7$$이므로 $2 + a = (1 + a + b) + 7 \implies b = -6$이다.
• 조건 (나)에서 $5f(1) = g(1)$이므로 $$\lim_{x \to 1}\frac{g(x) - g(1)}{x - 1} = g'(1) = f(1) + 11$$이다. $g'(1) = 2f(1) + 5f'(1) = f(1) + 11$에 $f'(1) = f(1) + 7$을 대입하면 $$6f(1) + 24 = 0 \implies f(1) = -4$$이므로 $1 + a - 6 = -4 \implies a = 1$이다.

2단계: 이차함수 $f(x)$ 결정 및 $f(6) - g'(2)$ 계산 (6점)

따라서 $f(x) = x^2 + x - 6$, $f'(x) = 2x + 1$이다.

$f(6) = 36 + 6 - 6 = 36$
$g'(2) = 2f(2) + 7f'(2) = 2(4 + 2 - 6) + 7(4 + 1) = 0 + 35 = 35$

그러므로 $f(6) - g'(2) = 36 - 35 = 1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
조건 (가)로부터 $b$ 도출	$5f'(1) = g(1) + 35$를 이용하여 $b = -6$을 구한 경우	2점
조건 (나)로부터 $a$ 도출	$g'(1) = f(1) + 11$을 이용하여 $a = 1$을 구한 경우	2점
이차함수 $f(x)$ 결정	$f(x) = x^2 + x - 6$을 구한 경우	3점
최종 함숫값 및 미분계수 계산	$f(6) - g'(2) = 36 - 35 = 1$을 구한 경우	3점

2026학년도 신한대학교 공식 해설 및 채점기준 자연계열 · 수학 해설 수학Ⅱ (정적분의 활용) 문항정보 29

[2026학년도] 문항 14 (자연계열 14번) 해설 — 두 이차함수 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 교점을 지나는 직선

배점: 10점 | 권장시간: 4분

성취기준: [12수학Ⅱ03-05]

문제 14

두 함수 $f(x) = 2x^2 + 6ax$와 $g(x) = -x^2 + 9a^2$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{32}{27}$이고, 두 함수의 그래프가 서로 만나는 두 점을 연결한 직선의 방정식을 $y = h(x)$라 할 때, $h(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a$는 양의 상수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 두 포물선의 교점을 구하여 정적분으로 둘러싸인 넓이에서 상수 $a$를 결정하고, 두 교점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅱ p.93 유제 5 연계 ([12수학Ⅱ03-05])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 두 곡선의 교점 및 넓이 조건으로 상수 $a$ 결정 (4점)

두 함수의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표는 $2x^2 + 6ax = -x^2 + 9a^2 \implies 3x^2 + 6ax - 9a^2 = 3(x + 3a)(x - a) = 0$에서 $x = -3a$ 또는 $x = a$ ($a > 0$)이다. 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{32}{27}$이므로 $$\int_{-3a}^{a} (-3x^2 - 6ax + 9a^2)\,dx = \frac{3 \cdot (a - (-3a))^3}{6} = 32a^3 = \frac{32}{27}$$에서 $a^3 = \dfrac{1}{27} \implies a = \dfrac{1}{3}$ ($a > 0$)이다.

2단계: 두 교점을 연결한 직선의 방정식 $y = h(x)$ 도출 (4점)

$a = \dfrac{1}{3}$일 때 두 교점의 $x$좌표는 $x = -1$과 $x = \dfrac{1}{3}$이다. 이를 $g(x) = -x^2 + 1$에 대입하면 두 교점의 좌표는 $(-1, 0)$과 $\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{8}{9}\right)$이다. 두 점을 지나는 직선의 기울기는 $$\frac{\dfrac{8}{9} - 0}{\dfrac{1}{3} - (-1)} = \frac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{4}{3}} = \frac{2}{3}$$이므로 직선의 방정식은 $h(x) = \dfrac{2}{3}(x + 1)$이다.

3단계: $h(2)$의 값 계산 (2점)

$h(x) = \dfrac{2}{3}(x + 1)$에 $x = 2$를 대입하면 $h(2) = \dfrac{2}{3} \times 3 = 2$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
양수 $a$의 값 산출	교점 $x = -3a, a$ 및 정적분 넓이 식으로부터 $a = \dfrac{1}{3}$을 구한 경우	4점
직선의 방정식 $h(x)$ 산출	두 교점 $(-1, 0), \left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{8}{9}\right)$을 지나는 직선 $h(x) = \dfrac{2}{3}(x + 1)$을 구한 경우	4점
$h(2)$의 값 산출	$h(2) = 2$를 정확히 구한 경우	2점

2026학년도 신한대학교 공식 해설 및 채점기준 자연계열 · 수학 해설 수학Ⅱ (도함수의 활용) 문항정보 30

[2026학년도] 문항 15 (자연계열 15번) 해설 — 접선의 방정식, 사차함수의 최솟값과 부등식

배점: 10점 | 권장시간: 5분

성취기준: [12수학Ⅱ02-06], [12수학Ⅱ02-08], [12수학Ⅱ02-09]

문제 15

최고차항의 계수가 $12$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$가 원점을 지나고, 점 $(1, f(1))$에서 접선의 방정식은 $y = -28x + 8$이다. $g(x) = x^4 - 4x^2 + k$일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$가 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 접선의 방정식 조건을 이용해 삼차함수 $f(x)$를 결정하고, 모든 실수에서 부등식 $f(x) \le g(x)$가 성립할 조건을 사차함수의 최솟값으로 구할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: EBS 수능특강 수학Ⅱ p.67 유제 9 연계 ([12수학Ⅱ02-06], [12수학Ⅱ02-08], [12수학Ⅱ02-09])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

1단계: 접선 조건을 이용한 삼차함수 $f(x)$ 결정 (2점)

곡선 $y = f(x)$가 원점을 지나고 최고차항의 계수가 $12$이므로 $f(x) = 12x^3 + ax^2 + bx$ ($a, b$는 상수)라 하자. 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식이 $y = -28x + 8$이므로

$f(1) = -28 + 8 = -20 \implies 12 + a + b = -20 \implies a + b = -32$
$f'(1) = -28 \implies 36 + 2a + b = -28 \implies 2a + b = -64$

두 식을 연립하면 $a = -32, b = 0$이므로 $f(x) = 12x^3 - 32x^2$이다.

2단계: 차이 함수 $h(x)$의 도함수 및 극값 후보 도출 (5점)

$h(x) = g(x) - f(x) = x^4 - 12x^3 + 28x^2 + k$라 하면 모든 실수 $x$에 대하여 $h(x) \ge 0$이어야 한다. 양변을 미분하면 $$h'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 56x = 4x(x^2 - 9x + 14) = 4x(x - 2)(x - 7)$$이므로 $h'(x) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 또는 $x = 7$이다.

3단계: 함수 $h(x)$의 최솟값 판별 및 $k$의 최솟값 계산 (3점)

함수 $h(x)$는 $x = 0$과 $x = 7$에서 극소이고 $x = 2$에서 극대이다. 두 극솟값을 비교하면 $$h(0) = k, \qquad h(7) = 7^4 - 12 \times 7^3 + 28 \times 7^2 + k = 7^3(7 - 12 + 4) + k = -343 + k$$이므로 실수 전체에서 $h(x)$의 최솟값은 $h(7) = k - 343$이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $h(x) \ge 0$이려면 $k - 343 \ge 0 \implies k \ge 343$이므로 실수 $k$의 최솟값은 $343$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
삼차함수 $f(x)$ 결정	$f(1) = -20, f'(1) = -28$을 이용하여 $f(x) = 12x^3 - 32x^2$을 구한 경우	2점
차이 함수 $h(x)$ 설정	$h(x) = g(x) - f(x) = x^4 - 12x^3 + 28x^2 + k$를 세운 경우	2점
도함수 $h'(x) = 0$의 해 산출	$h'(x) = 4x(x - 2)(x - 7) = 0$에서 $x = 0, 2, 7$을 구한 경우	3점
실수 $k$의 최솟값 산출	$h(7) = k - 343 \ge 0$으로부터 최솟값 $343$을 구한 경우	3점

문제 2025-1

정의역이 $\{x \mid -2 \le x \le 3\}$인 함수 $y = 2^x + a$의 최댓값이 $7$이고, 최솟값은 $m$이다. $a, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 지수함수에서 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 활용하여 최댓값과 최솟값 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 교학사 수학Ⅰ p.50, 금성출판사 수학Ⅰ p.44 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅰ p.30 ([12수학Ⅰ01-07])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 지수함수의 증가 성질과 최댓값 조건 (50%)

밑이 $2 > 1$이므로 함수 $y = 2^x + a$는 실수 전체에서 증가함수이다.
따라서 닫힌구간 $[-2, 3]$에서 $x = 3$일 때 최댓값 $7$을 가지므로
$$2^3 + a = 8 + a = 7 \implies a = -1$$

Step 2. 최솟값 $m$ 계산 및 최종 결론 (50%)

함수 $y = 2^x - 1$은 $x = -2$에서 최솟값 $m$을 가지므로
$$m = 2^{-2} + a = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$의 값 도출	• $x = 3$에서 최댓값 $7$임을 이용하여 $a = -1$을 구한 경우	5점
최솟값 $m$ 도출	• $x = -2$에서 최솟값 $m = -\dfrac{3}{4}$을 구한 경우	5점

문제 2025-2

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_7 = 22, \; a_2 + a_5 = 23$일 때, 공차와 $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 등차수열의 뜻을 알고, 일반항을 활용하여 공차와 특정 항의 값을 구할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 좋은책신사고 수학Ⅰ p.123, 비상교육 수학Ⅰ p.124 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅰ p.75 ([12수학Ⅰ03-02])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 등차수열의 일반항 관계식 수립 (40%)

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$라 하면
$$a_7 = a_1 + 6d = 22 \implies a_1 = 22 - 6d$$

Step 2. 연립방정식을 통한 공차 $d$ 계산 (30%)

$a_2 + a_5 = (a_1 + d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 5d = 23$에 $a_1 = 22 - 6d$를 대입하면
$$2(22 - 6d) + 5d = 44 - 7d = 23 \implies 7d = 21 \implies d = 3 \quad (\therefore a_1 = 4)$$

Step 3. 제10항 $a_{10}$ 계산 (30%)

$$a_{10} = a_1 + 9d = a_7 + 3d = 22 + 3 \times 3 = 31$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
첫째항과 공차의 관계식	• $a_1 = 22 - 6d$ (또는 $a_1 = 4$)를 구한 경우	4점
공차 $d$ 도출	• 공차 $d = 3$을 구한 경우	3점
$a_{10}$의 값 도출	• $a_{10} = 31$을 구한 경우	3점

문제 2025-3

다음은 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)f(x)}{x^2 + 2x - 8} = 5$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술한 것이다. (가)에 알맞은 식과 (나), (다)에 알맞은 값을 구하시오.

< 풀이 과정 >

함수 $f(x)$가 실수 전체 집합에서 연속이므로 $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$,
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)f(x)}{x^2 + 2x - 8} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\fbox{$\phantom{\text{ (가) }}\text{(가)}\phantom{\text{ (가) }}$}} \times \lim_{x \to 2} f(x) = \fbox{$\phantom{\text{ (나) }}\text{(나)}\phantom{\text{ (나) }}$} \times f(2) = 5$$ 따라서, $f(2) = \fbox{$\phantom{\text{ (다) }}\text{(다)}\phantom{\text{ (다) }}$}$

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 제시문의 상황에서 연속함수의 성질을 이해하고, 이를 활용해 문제를 해결할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: 천재교육 수학Ⅱ p.34, 좋은책신사고 수학Ⅱ p.34 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ p.23 ([12수학Ⅱ01-04])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 분모의 인수분해와 약분 (40%)

분모 $x^2 + 2x - 8$을 인수분해하면 $x^2 + 2x - 8 = (x-2)(x+4)$이다.
따라서 $x \ne 2$일 때 $x - 2$로 약분하면 $\text{(가)} = x + 4$이다.

Step 2. 극한값 계산 및 $f(2)$ 도출 (60%)

$$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x+4} = \frac{1}{2+4} = \frac{1}{6} \implies \text{(나)} = \frac{1}{6}$$
$\dfrac{1}{6} \times f(2) = 5$이므로 $f(2) = \text{(다)} = 30$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
(가)에 알맞은 식	• (가) $x + 4$	4점
(나)에 알맞은 값	• (나) $\dfrac{1}{6}$	3점
(다)에 알맞은 값	• (다) $30$	3점

문제 2025-4

$a > 0$인 상수 $a$에 대하여 곡선 $y = x^2 + a$와 $x$축 및 두 직선 $x = -2, \; x = 1$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $9$이다. 이때, 곡선 $y = x^2 + 2a$와 $x$축 및 두 직선 $x = -2, \; x = 1$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a > 0$인 상수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분을 이용하여 구할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 천재교과서 수학Ⅱ p.139, 지학사 수학Ⅱ p.148 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ p.89 ([12수학Ⅱ03-05])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 첫 번째 넓이 조건으로부터 상수 $a$ 도출 (50%)

$a > 0$이므로 모든 실수 $x$에서 $x^2 + a > 0$이다. 둘러싸인 도형의 넓이가 $9$이므로
$$\int_{-2}^{1} (x^2 + a)\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + ax\right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1}{3} + a\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2a\right) = 3 + 3a = 9 \implies a = 2$$

Step 2. 곡선 $y = x^2 + 2a$로 둘러싸인 도형의 넓이 계산 (50%)

$a = 2$이므로 $y = x^2 + 2a = x^2 + 4$이다. 따라서 구하는 넓이 $S$는
$$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 4)\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + 4x\right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1}{3} + 4\right) - \left(-\frac{8}{3} - 8\right) = 3 + 12 = 15$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$의 값 도출	• 정적분을 계산하여 $a = 2$를 구한 경우	5점
도형의 넓이 $S$ 도출	• 곡선 $y = x^2 + 4$로 둘러싸인 넓이 $S = 15$를 구한 경우	5점

문제 2025-5

함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$는 $x = 1$에서 극댓값 $4$를 가지고, $x = 2$에서 극솟값을 가진다. 이때, 상수 $a, b, c$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 도함수의 활용, 극값과 함수의 증가·감소에 대한 조건을 이용하여 미정계수와 극값을 구할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 금성출판사 수학Ⅱ p.91, 동아출판 수학Ⅱ p.88, 비상교육 수학Ⅱ p.85 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ p.52 ([12수학Ⅱ02-08])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 극값 조건 $f'(1) = 0, \; f'(2) = 0$으로부터 $a, b$ 도출 (60%)

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$이고, $x = 1$과 $x = 2$에서 극값을 가지므로
$$f'(1) = 6 + 2a + b = 0, \quad f'(2) = 24 + 4a + b = 0$$
두 식을 연립하여 풀면 $2a = -18 \implies a = -9, \; b = 12$이다.

Step 2. 극댓값 조건 $f(1) = 4$로부터 $c$ 도출 (20%)

$x = 1$에서 극댓값 $4$를 가지므로
$$f(1) = 2 - 9 + 12 + c = 4 \implies 5 + c = 4 \implies c = -1$$

Step 3. 극솟값 $f(2)$ 계산 (20%)

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$이므로 $x = 2$에서의 극솟값은
$$f(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) - 1 = 16 - 36 + 24 - 1 = 3$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a, b$ 도출	• $a = -9$ (3점), $b = 12$ (3점)	6점 (각 3점)
상수 $c$ 및 극솟값 도출	• $c = -1$ (2점), 극솟값 $f(2) = 3$ (2점)	4점 (각 2점)

문제 2025-6

정의역이 $\left\{x \;\middle|\; -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{3}\right\}$인 함수 $f(x) = \sin^2 x - 2\cos(x - \pi) + 1$은 $x = a$에서 최솟값 $m$을 갖고, $x = b$에서 최댓값 $M$을 갖는다. $a, b, M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 삼각함수에서 그래프를 그릴 수 있고, 삼각함수의 성질과 치환을 활용하여 최댓값과 최솟값 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 교학사 수학Ⅰ p.87, 지학사 수학Ⅰ p.90 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅰ p.49 ([12수학Ⅰ02-02])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 삼각함수의 성질을 이용한 식 변형 및 치환 (30%)

$\cos(x - \pi) = -\cos x$이고 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$이므로
$$f(x) = (1 - \cos^2 x) + 2\cos x + 1 = -\cos^2 x + 2\cos x + 2$$
$\cos x = t$로 치환하면 $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{3}$에서 $0 \le t \le 1$이다.

Step 2. 이차함수의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 계산 (40%)

$$g(t) = -t^2 + 2t + 2 = -(t - 1)^2 + 3 \quad (0 \le t \le 1)$$
구간 $[0, 1]$에서 $g(t)$는 증가하므로 $t = 0$일 때 최솟값 $m = 2$, $t = 1$일 때 최댓값 $M = 3$을 갖는다.

Step 3. $a, b$의 값 도출 (30%)

$-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{3}$에서
• $t = \cos x = 0$일 때 $x = -\dfrac{\pi}{2}$이므로 $a = -\dfrac{\pi}{2}$
• $t = \cos x = 1$일 때 $x = 0$이므로 $b = 0$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
최솟값 $m$과 최댓값 $M$	• $m = 2$ (2점), $M = 3$ (2점)	4점 (각 2점)
$a, b$의 값 도출	• $a = -\dfrac{\pi}{2}$ (3점), $b = 0$ (3점)	6점 (각 3점)

문제 2025-7

정의역이 $\{x \mid -3 \le x \le 5\}$인 함수 $y = -\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1} + 1$의 최댓값이 $M$이고, 최솟값은 $m$이다. $M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 지수함수에서 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 활용하여 최댓값과 최솟값 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 교학사 수학Ⅰ p.50, 금성출판사 수학Ⅰ p.44 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅰ p.30 ([12수학Ⅰ01-07])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수의 증가·감소 판정 및 최솟값 $m$ 계산 (50%)

밑이 $0 < \dfrac{1}{3} < 1$인 지수함수 앞에 음수 부호($-$)가 곱해져 있으므로, 함수 $y = -\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1} + 1$은 실수 전체에서 증가함수이다.
따라서 $x = -3$에서 최솟값 $m$을 가지므로
$$m = -\left(\frac{1}{3}\right)^{-3-1} + 1 = -\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} + 1 = -81 + 1 = -80$$

Step 2. 최댓값 $M$ 계산 (50%)

$x = 5$에서 최댓값 $M$을 가지므로
$$M = -\left(\frac{1}{3}\right)^{5-1} + 1 = -\left(\frac{1}{3}\right)^4 + 1 = -\frac{1}{81} + 1 = \frac{80}{81}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
최솟값 $m$ 도출	• $x = -3$에서 최솟값 $m = -80$을 구한 경우	5점
최댓값 $M$ 도출	• $x = 5$에서 최댓값 $M = \dfrac{80}{81}$을 구한 경우	5점

문제 2025-8

함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - \dfrac{1}{3}$이 $x = -1, \; x = 2$에서 극값을 갖고, $f'(0) = -4$일 때, 상수 $a, b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 도함수의 활용, 극값과 함수의 증가·감소에 대한 조건을 이용하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 좋은책신사고 수학Ⅱ p.86, 동아출판 수학Ⅱ p.88, 지학사 수학Ⅱ p.89, 비상교육 수학Ⅱ p.85 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ p.53 ([12수학Ⅱ02-08])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x)$와 $f'(0) = -4$로부터 $c$ 도출 (20%)

$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$
$f'(0) = -4$이므로 $c = -4$이다.

Step 2. 극값 조건 $f'(-1) = 0, \; f'(2) = 0$ 연립하여 $a, b$ 도출 (80%)

함수 $f(x)$가 $x = -1, \; x = 2$에서 극값을 가지므로
$$f'(-1) = 3a - 2b - 4 = 0, \quad f'(2) = 12a + 4b - 4 = 0$$
두 식을 연립하면 $18a - 12 = 0 \implies a = \dfrac{2}{3}, \; b = -1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a, b$ 도출	• $a = \dfrac{2}{3}$ (4점), $b = -1$ (4점)	8점 (각 4점)
상수 $c$ 도출	• $c = -4$ (2점)	2점

문제 2025-9

수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_2, \; a_3, \; a_5$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $3a_2 + 5a_3 = 7$

(나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = -\dfrac{1}{3}a_n$이다.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 제시문의 상황에서 수열의 귀납적 정의를 활용해 문제를 해결할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: 교학사 수학Ⅰ p.162, 지학사 수학Ⅰ p.156 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅰ p.102 ([12수학Ⅰ03-06])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 귀납적 정의를 이용하여 $a_2$ 계산 (40%)

조건 (나)에서 $n = 2$를 대입하면 $a_3 = -\dfrac{1}{3}a_2$이다. 이를 조건 (가)에 대입하면
$$3a_2 + 5\left(-\frac{1}{3}a_2\right) = \frac{4}{3}a_2 = 7 \implies a_2 = \frac{21}{4}$$

Step 2. $a_3$과 $a_5$ 순차 계산 (60%)

$$a_3 = -\frac{1}{3}a_2 = -\frac{1}{3} \times \frac{21}{4} = -\frac{7}{4}$$
$$a_4 = -\frac{1}{3}a_3 = \frac{7}{12}, \quad a_5 = -\frac{1}{3}a_4 = -\frac{7}{36}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$a_2, a_3$의 값 도출	• $a_2 = \dfrac{21}{4}$ (4점), $a_3 = -\dfrac{7}{4}$ (4점)	8점 (각 4점)
$a_5$의 값 도출	• $a_5 = -\dfrac{7}{36}$ (2점)	2점

문제 2025-10

등식 $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+a} + b}{x^2 - 4} = \dfrac{1}{32}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 제시문의 상황에서 함수의 극한에 대한 성질을 활용해 문제를 해결할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: 천재교과서 수학Ⅱ p.27, 동아출판 수학Ⅱ p.27 / 2025학년도 EBS 수능완성 수학Ⅱ p.45 ([12수학Ⅱ01-02])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 분모가 $0$으로 수렴할 때 분자의 극한 조건 (30%)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+a} + b}{x^2 - 4} = \dfrac{1}{32}$이고 $\lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 4) = 0$이므로
$$\lim_{x \to 2} \left(\sqrt{x+a} + b\right) = \sqrt{2+a} + b = 0 \implies b = -\sqrt{2+a}$$

Step 2. 분자의 유리화 및 $a, b$ 계산 (70%)

$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{2+a}}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x+2)\left(\sqrt{x+a} + \sqrt{2+a}\right)} = \frac{1}{8\sqrt{2+a}} = \frac{1}{32}$$
따라서 $\sqrt{2+a} = 4 \implies 2 + a = 16 \implies a = 14$이고, $b = -\sqrt{2+14} = -4$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	• $a = 14$를 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	• $b = -4$를 구한 경우	5점

문제 2025-11

$x$에 대한 이차방정식 $\sqrt{3}x^2 + (2\cos\theta)x + \sin\theta\cos\theta = 0$이 중근을 갖도록 하는 상수 $\theta$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $0 < \theta < \pi$이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 이차방정식이 중근을 가질 조건(판별식)과 삼각함수의 성질을 결합하여 주어진 범위에서 삼각방정식의 해를 구할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 금성출판사 수학Ⅰ p.115 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅰ p.45 ([12수학Ⅰ02-02])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 판별식 $D/4 = 0$ 조건 정리 (40%)

$x$에 대한 이차방정식 $\sqrt{3}x^2 + (2\cos\theta)x + \sin\theta\cos\theta = 0$이 중근을 가지려면 판별식 $D = 0$이어야 하므로
$$\frac{D}{4} = \cos^2\theta - \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = \cos\theta\left(\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta\right) = 0$$
따라서 $\cos\theta = 0$ 또는 $\cos\theta = \sqrt{3}\sin\theta \;\left(\text{즉, } \tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$이다.

Step 2. 범위 $0 < \theta < \pi$에서 $\theta$의 값 도출 (60%)

주어진 범위 $0 < \theta < \pi$에서
• $\cos\theta = 0$을 만족하는 해는 $\theta = \dfrac{\pi}{2}$
• $\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$을 만족하는 해는 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
삼각방정식 조건 도출	• $\cos\theta = 0, \; \tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ (또는 $\cos\theta = \sqrt{3}\sin\theta$) 도출	4점
해 $ heta$ 도출	• $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ (3점), $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ (3점)	6점 (각 3점)

문제 2025-12

함수 $f(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 $$\int_{-1}^{1} (x-1)f(x)\,dx = \frac{8}{3}, \qquad \int_{-1}^{1} x^2 f(x)\,dx = -\frac{4}{15}$$ 가 성립할 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 정적분으로 정의된 다항함수의 적분 성질을 이용하여 미정계수를 구할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 금성출판사 수학Ⅱ p.127, 동아출판 수학Ⅱ p.134, 비상교육 수학Ⅱ p.117, 천재교과서 수학Ⅱ p.126 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ p.80 ([12수학Ⅱ03-04])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 두 번째 정적분 식으로부터 $b$ 도출 (50%)

$$\int_{-1}^{1} x^2(x^2 + ax + b)\,dx = \left[\frac{1}{5}x^5 + \frac{a}{4}x^4 + \frac{1}{3}bx^3\right]_{-1}^{1} = \frac{2}{5} + \frac{2}{3}b = -\frac{4}{15}$$
따라서 $\dfrac{2}{3}b = -\dfrac{10}{15} = -\dfrac{2}{3} \implies b = -1$이다.

Step 2. 첫 번째 정적분 식으로부터 $a$ 도출 (50%)

$$\int_{-1}^{1} (x-1)(x^2 + ax + b)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}(a-1)x^3 + \frac{1}{2}(b-a)x^2 - bx\right]_{-1}^{1} = \frac{2}{3}(a-1) - 2b = \frac{8}{3}$$
양변에 $\dfrac{3}{2}$을 곱하면 $a - 1 - 3b = 4 \implies a - 3b = 5$이고, $b = -1$을 대입하면 $a = 2$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	• $a = 2$를 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	• $b = -1$을 구한 경우	5점

2025학년도 신한대학교 공식 해설 및 채점기준 자연과학계열 · 수학 해설 수학Ⅱ (미분법·연속과 미분계수) 문항정보 28

[2025학년도] 2025 기출 문항 13 (자연과학 13번) 해설 — 함수의 연속, 미분계수, 도함수, 기함수 성질

배점: 10점 | 권장시간: 4분

성취기준: [12수학Ⅱ01-04]

문제 2025-13

삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 $a, b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

< 조 건 >

(가) $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 4}{x - 1} = 16$

(나) 모든 실수 $p$에 대하여 $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{f(x) + f(-x)}{x - p}$의 값이 존재한다.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 제시문의 상황에서 연속함수 및 미분계수의 성질을 이해하고, 이를 활용해 문제를 해결할 수 있는지 평가한다.

• 연계 출처: 천재교과서 수학Ⅱ p.104, 천재교육 수학Ⅱ p.47 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ p.16 ([12수학Ⅱ01-04])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 조건 (나)로부터 $b = 0$ 도출 (40%)

조건 (나)에서 모든 실수 $p$에 대하여 $\lim\limits_{x \to p} (x - p) = 0$이므로 분자의 극한도 $0$이어야 한다.
$$\lim_{x \to p} \{f(x) + f(-x)\} = f(p) + f(-p) = 2bp^2 = 0 \quad (\forall p \in \mathbb{R})$$
따라서 $b = 0$이고 $f(x) = ax^3 + cx$이다.

Step 2. 조건 (가)로부터 $a, c$ 도출 (60%)

조건 (가)에서 $f(1) = 4, \; f'(1) = 16$이고 $f'(x) = 3ax^2 + c$이므로
$$f(1) = a + c = 4, \qquad f'(1) = 3a + c = 16$$
두 식을 연립하여 풀면 $2a = 12 \implies a = 6, \; c = -2$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $b$ 도출	• 조건 (나)를 이용하여 $b = 0$을 구한 경우	4점
상수 $a, c$ 도출	• $a = 6$ (3점), $c = -2$ (3점)	6점 (각 3점)

2025학년도 신한대학교 공식 해설 및 채점기준 자연과학계열 · 수학 해설 수학Ⅰ (지수함수와 로그함수) 문항정보 29

[2025학년도] 2025 기출 문항 14 (자연과학 14번) 해설 — 상용로그와 절대부등식(이차부등식)

배점: 10점 | 권장시간: 5분

성취기준: [12수학Ⅰ01-07], [12수학Ⅰ01-08]

문제 2025-14

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $a$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a \ne 10$)

< 조 건 >

$x$에 대한 이차부등식 $(1 - \log a)x^2 + 2(1 - \log a)x - 1 < 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립한다.

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 모든 실수에서 이차부등식이 성립할 조건(이차항의 계수와 판별식)을 이해하고, 상용로그와 등차수열의 합을 활용해 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 금성출판사 수학Ⅰ p.66, 천재교과서 수학Ⅰ p.62 ([12수학Ⅰ01-07], [12수학Ⅰ01-08])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 최고차항의 계수 조건 (20%)

모든 실수 $x$에 대하여 이차부등식 $(1 - \log a)x^2 + 2(1 - \log a)x - 1 < 0$이 성립하려면 위로 볼록해야 하므로
$$1 - \log a < 0 \implies \log a > 1 \implies a > 10$$

Step 2. 판별식 $D/4 < 0$ 조건 (40%)

$x$축과 만나지 않아야 하므로 판별식 $D < 0$에서
$$\frac{D}{4} = (1 - \log a)^2 + (1 - \log a) = (1 - \log a)(2 - \log a) < 0$$
따라서 $1 < \log a < 2 \implies 10 < a < 100$이다.

Step 3. 자연수 $a$의 값의 합 계산 (40%)

$10 < a < 100$을 만족시키는 자연수 $a$는 $11, 12, \dots, 99$로 총 $89$개이므로 등차수열의 합에 의해
$$\sum_{a=11}^{99} a = \frac{89(11 + 99)}{2} = 89 \times 55 = 4895$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
이차항의 계수 조건	• $1 - \log a < 0$ 또는 $a > 10$ 도출	2점
판별식(또는 최댓값) 범위 도출	• $1 < \log a < 2$ 또는 $10 < a < 100$ 도출	4점
자연수 $a$의 합 계산	• 등차수열의 합으로 $4895$를 구한 경우	4점

문제 2025-15

두 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax$와 $g(x) = x^3 - 6x^2 + ax + 1$이 각각 $x = 1$에서 극값을 가지고, 함수 $f(x)$의 그래프와 $g(x)$의 그래프는 직선 $y = b$와 각각 서로 다른 세 점에서 만난다. 이때, 상수 $a$의 값과 가능한 모든 정수 $b$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a$는 상수이고 $b$는 정수이다.)

1. 출제 의도 및 연계 출처

• 출제 의도: 삼차함수의 극대와 극소 조건 및 그래프와 직선의 교점의 개수 조건을 이용하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다.

• 연계 출처: 동아출판 수학Ⅱ p.94, 금성출판사 수학Ⅱ p.99, 천재교과서 수학Ⅱ p.94, 좋은책신사고 수학Ⅱ p.105 / 2025학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ p.66 ([12수학Ⅱ02-08])

2. 약술형 3단계 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 극값 조건으로부터 상수 $a$ 도출 (40%)

$f'(x) = g'(x) = 3x^2 - 12x + a$이고, 두 함수가 $x = 1$에서 극값을 가지므로
$$f'(1) = 3 - 12 + a = 0 \implies a = 9$$

Step 2. 두 함수의 극댓값과 극솟값 및 $b$의 범위 도출 (40%)

$f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) = 0$에서 $x = 1$일 때 극대, $x = 3$일 때 극소이다.
• $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$의 극댓값은 $f(1) = 4$, 극솟값은 $f(3) = 0$이므로 직선 $y = b$와 서로 다른 세 점에서 만나려면 $0 < b < 4$이다.
• $g(x) = f(x) + 1$의 극댓값은 $g(1) = 5$, 극솟값은 $g(3) = 1$이므로 직선 $y = b$와 서로 다른 세 점에서 만나려면 $1 < b < 5$이다.
따라서 공통 범위는 $1 < b < 4$이다.

Step 3. 가능한 모든 정수 $b$의 값의 합 계산 (20%)

$1 < b < 4$를 만족시키는 정수 $b$는 $2, 3$이므로 가능한 모든 정수 $b$의 값의 합은 $2 + 3 = 5$이다. (신한대 공식 채점기준상 $a$까지 합한 $9 + 2 + 3 = 14$도 정답 인정)

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	• $f'(1) = 0$을 이용하여 $a = 9$를 구한 경우	4점
$b$의 범위 및 정수 $b$ 도출	• $1 < b < 4$ 또는 $b = 2, 3$을 구한 경우	4점
합 계산	• 합: $2 + 3 = 5$ 또는 $9 + 2 + 3 = 14$	2점